[([)-168.63(2)-174.52(;)]TJ /IM true [(P)-4.95945]TJ BI 8.88 9 Td 1 0 0 1 419.64 674.04 Tm Justifier que la suite ( n) n2N est bornée et que la série de fonctions P n2N f n converge simplement sur I. /W 1 [(n)0.508317]TJ -281.04 -11.88 Td 08 : cours complet. [(g)-5.79974]TJ Soit D une partie non vide de R. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur D à valeurs dans R ou C. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D, la suite numérique (fn(x))n∈N converge vers le nombre f(x). /IM true 10.2 1.44 Td On en déduit que la série ne converge pas uniformément sur . /R27 9.96264 Tf /R35 6.97385 Tf 1 0 0 1 193.8 497.4 Tm Par domination par une série convergente (de somme exponentielle) la série de terme général converge donc converge normalement donc uniformément sur . [(R)1.18509(I)-0.329355(A)3.02595(\))-165.278(;)-336.587(i)0.673414(l)-336.587(a)-331.229(�)-1.33213(t)3.35237(�)-326.547(r)-5.91369(e)-1.33213(l)0.673414(u)1.34683]TJ -132.24 -16.2 Td Étude de la convergence uniforme [()3.37883]TJ q 4 0 0 -104 631.9 1238.9 cm 0 0 0 1 k /H 1 /R31 6.97385 Tf /H 1 49.32 0 Td Tous nos cours en ligne ont pour unique objectif de faciliter l’apprentissage et d’améliorer le niveau de connaissances des étudiants de Maths Spé. /R27 9.96264 Tf q [(. /R43 6.97385 Tf 119.76 0 Td [(k)4.75129]TJ [()3.3803]TJ TD 05 - Suites et séries de fonctions (corrigé du 2) TD 11b - Variables aléatoires discrètes (bonus pour le 2) TD 06 - Séries entières (corrigé du 6) TD 12 - Calcul différentiel, courbes et surfaces: Pour mémoire, les sujets traités en 2019/2020. Puis en prenant les valeurs en et , on obtient : . /R27 9.96264 Tf )0.671944(a)-487.815(E)5.86664()5.02782(e)-1.33286(c)-1.33286(t)3.3531(u)1.3483(e)-1.33286(r)-511.804(d)1.3483(e)-1.3336(s)-484.938(i)0.671944(n)25.4383(t)3.35237(�)-1.3336(g)-6.01515(r)-5.91517(a)-6.01515(t)3.35237(i)0.671944(o)-6.01515(n)1.3483(s)-484.938(p)1.3483(a)-6.01515(r)-487.715(p)1.3483(a)-6.01515(r)-5.91517(t)3.35237(i)0.671944(e)-1.3336(s)-484.938(s)-3.1377(u)1.34683(r)-487.714(l)0.673414(')0.673414(�)-1.33213(c)-1.33213(r)-5.91369(i)0.673414(t)3.35237(u)1.34683(r)-5.91369(e)-495.177(i)]TJ 51.36 6.72 Td Pourriez-vous m'eclairer dans mes choix de sujets? /IM true La solution générale de l’équation est donnée par où . ET /IM true [(e)-1.33213(t)3.35237]TJ /R62 9.96264 Tf /R21 9.96264 Tf 1 0 0 1 322.68 497.4 Tm [(1)-6.01515(4)-487.815(E)5.86664(r)-5.91443(r)-5.91443(e)-1.33286(u)1.3483(r)-258.859(d)1.3483(')0.671944(�)-1.33286(n)1.3483(o)-6.01515(n)1.3483(c)-1.3336(�)-169.964(:)-264.318(a)-6.01515(d)1.3483(m)2.02465(e)-1.3336(t)3.35237(t)3.35237(r)-5.91517(e)-266.324(l)0.671944(')0.671944(u)1.3483(n)1.3483(i)0.671944(c)-1.3336(i)0.671944(t)3.35237(�)-278.369(e)-1.3336(t)-273.683(m)2.02318(o)-6.01368(n)25.4368(t)3.35237(r)-5.91369(e)-1.33213(r)-258.859(l)0.673414(')0.673414(e)-1.33213(x)-2.33195(i)0.673414(s)-3.1377(t)3.35237(e)]TJ /R27 9.96264 Tf Q 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /R21 9.96264 Tf Q 1 0 0 1 178.08 85.08 Tm 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT SUITES ET SERIES DE FONCTIONS Exercices d'oraux Les exercices qui suivent sont extraits d'oraux pour les concours Centrale et Mines-Ponts des lières MP, PC et PSI. [(\()2.56133]TJ -226.8 -12 Td 1 0 0 1 253.68 489.6 Tm 0 g Q [(d)1.34683(�)-1.33213()1.34683(n)1.34683(i)0.673414(e)-338.592(s)-3.1377(u)1.34683(r)-5.91369]TJ 15 -12 Td /IM true 4.8 1.44 Td /R27 9.96264 Tf /R21 9.96264 Tf q 105 0 0 -4 530.9 1135.9 cm [(Z)0.930723]TJ /H 1 /IM true [(T)6.05452(�)1.64678(l)4.40938(�)1.64678(c)1.64188(h)-4.59889(a)25.2865(r)3.0338(g)5.19519(�)-359.703(g)5.19519(r)3.0338(a)-1.48014(t)-3.68238(u)-4.59889(i)4.40938(t)-3.68238(e)1.64678(m)-0.227085(e)1.64678(n)-4.59889(t)-338.266(s)5.76535(u)-4.59889(r)3.03216]TJ /R27 9.96264 Tf [(�)-1.3336(t)3.35237(a)-6.01515(n)25.4383(t)-333.908(c)-1.3336(o)-6.01515(n)25.4383(v)21.758(e)-1.3336(r)-5.91369(g)-6.01368(e)-1.33213(n)25.4368(t)3.35237(e)-302.457(e)-1.33213(t)-333.908(i)0.673414(n)1.34683(d)1.34683(�)-1.33213(p)-22.7432(e)-1.33213(n)1.34683(d)1.34683(a)-6.01368(n)25.4368(t)3.35237(e)-326.547(d)1.34683(e)-1.33213]TJ … Si , . Soit une suite d’éléments de convergeant uniformément vers une fonction . 5.04 0 Td /BPC 1 [(k)4.74919]TJ [(k)4.75129]TJ /R39 9.96264 Tf 15.6 0.6 Td [(\()2.56133]TJ -177 -13.92 Td 96.96 0 Td 3.96 0 Td /BPC 1 /R21 9.96264 Tf /R21 9.96264 Tf [(k)0.749872]TJ La suite de terme général ne converge pas uniformément vers 0. 3.6 0 Td [(n)0.508317]TJ ET [(\()2.55986(1)-5.89017]TJ [(\()2.56133]TJ /R31 6.97385 Tf [(2)-499.86(O)-5.33879(n)-311.822(p)-22.7417(o)-6.01515(u)1.3483(r)-5.91443(r)-5.91443(a)-307.14(p)1.3483(r)-5.91517(o)-6.01515(l)0.671944(o)-6.01515(n)1.3483(g)-6.01515(e)-1.3336(r)-282.95(l)0.671944(e)-1.3336(s)-316.308(f)4.35514(o)-6.01515(n)1.3483(c)-1.3336(t)3.35237(i)0.671944(o)-6.01515(n)1.3483(s)-3.1377]TJ /R17 9.96264 Tf ()Tj /R19 9.96264 Tf [(0)-5.89017]TJ /R10 8.96638 Tf [( )-5.92546]TJ ID [(e)-1.33213(t)-273.683(i)0.673414(l)-288.407(e)-1.33213(n)-275.688(e)-1.33213(s)-3.1377(t)-285.728(d)1.34683(e)-278.367(m)2.02318(�)-1.33213(m)2.02318(e)-290.412(d)1.34683(e)-278.367(l)0.673414(a)-283.049(f)4.35514(o)-6.01368(n)1.34683(c)-1.33213(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683]TJ La suite converge simplement sur vers la fonction . [(. [(N)-0.69988]TJ On en déduit que converge uniformément vers sur . /R27 9.96264 Tf Pour tout , . /R19 9.96264 Tf )0.671944(a)-487.815(O)-5.33879(n)-323.867(p)-22.7417(o)-6.01515(u)1.3483(r)-5.91443(r)-5.91443(a)-331.23(m)2.02465(o)-6.01515(n)25.4383(t)3.35237(r)-5.91517(e)-1.3336(r)-319.085(p)1.3483(r)-5.91517(�)-1.3336(a)-6.01515(l)0.671944(a)-6.01515(b)1.3483(l)0.671944(e)-1.3336(m)2.02465(e)-1.3336(n)25.4383(t)-309.818(q)-2.33195(u)1.3483(e)-338.594(p)-22.7432(o)-6.01368(u)1.34683(r)-331.129(t)3.35237(o)-6.01368(u)1.34683(t)3.35237]TJ -207.12 -11.52 Td [(>)-2.77053]TJ -49.32 -13.92 Td BI [(Z)0.929253]TJ [(P)-4.96092]TJ /R19 9.96264 Tf [(1)2.32943]TJ Exercices de concours Le sujet traité ici est l'étude générale des fonctions d'une variable réelle. [(H)3.21122]TJ [(o)-6.01515(b)1.3483(s)-3.1377(e)-1.33286(r)-5.91443(v)21.7588(e)-1.33286(r)-307.039(q)-2.33122(u)1.3483(e)-338.594(p)-22.7417(o)-6.01515(u)1.3483(r)-331.13(t)3.35237(o)-6.01515(u)1.3483(t)3.35237]TJ /BPC 1 Soit une suite de fonctions définies sur à valeurs dans . Par le théorème de Weirstrass, il existe une suite de fonctions polynomiales telle que . 18.36 6.72 Td /R27 9.96264 Tf ID [(l)0.671944(y)-2.33122(s)-3.1377(e)-434.953(p)-22.7417(e)-1.33286(r)-5.91443(m)2.02392(e)-1.33286(t)-442.312(d)1.3483(e)-434.954(t)3.35237(e)-1.3336(s)-3.1377(t)3.35237(e)-1.3336(r)-439.535(s)-3.1377(e)-1.3336(s)-424.713(c)-1.3336(o)-6.01515(n)1.3483(n)1.3483(a)-6.01515(i)0.671944(s)-3.1377(s)-3.1377(a)-6.01515(n)1.3483(c)-1.3336(e)-1.3336(s)-412.668(s)-3.1377(u)1.34683(r)-439.534(l)0.673414(e)-1.33213(s)-436.758(s)-3.1377(�)-1.33213(r)-5.91369(i)0.673414(e)-1.33213(s)-424.713(d)1.34683(e)-434.952(f)4.35514(o)-6.01368(n)]TJ [(P)-4.95945]TJ /R35 6.97385 Tf ID 4.92 0 Td /R68 9.96264 Tf [(1)0.264661]TJ /R27 9.96264 Tf 52.44 0 Td 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /R19 9.96264 Tf /R19 9.96264 Tf [(n)-2.24962]TJ [(. ID Donc la suite de fonctions (f n) n2N converge simplement sur R+ vers la fonction f : x 7!e x. 186.36 0 Td /R19 9.96264 Tf 6 2.88 Td /R19 9.96264 Tf [(0)1.16367]TJ Comme ,  ne converge pas vers 0, car elle est supérieure à une suite de limite égale à . De plus, pour x>0, lim n!+1 (1 + x2)n = +1, donc lim n!+1 f n(x) = 0. Si . Ce sujet est un peu long mais ne comporte aucune difficulté majeure. [( )-2.77053]TJ /BPC 1 [(c)1.64269]TJ [(n)-2.24962]TJ [(\()2.56133]TJ Suite du chapitre sur les séries. /W 1 -258.36 -12 Td [(d)1.3483(�)-1.33286()1.3483(n)1.3483(i)0.671944(s)-3.1377(s)-3.1377(a)-6.01515(n)25.4383(t)3.35237]TJ /R27 9.96264 Tf EI Q Question 2 7.44 -1.44 Td EI Q [(6)-5.92546]TJ ET q /R10 8.96638 Tf BI [(\()2.55986]TJ [(n)0.506216]TJ /IM true )0.671944]TJ /H 1 [(N)-0.69988]TJ donc . 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /W 1 On résout l’équation différentielle . -169.92 -13.92 Td Exercice 1  )-5.85194(a)4.8205]TJ La solution générale de l’équation sans second membre est où . /R19 9.96264 Tf /R19 9.96264 Tf 6.24 0 Td [(. BI /R10 8.96638 Tf On note la limite uniforme de sur . 5.64 0 Td /IM true Étudier la convergence uniforme sur tout segment de . Q /R27 9.96264 Tf xlorsque n! /R41 9.96264 Tf q 602 0 0 -4 1659.9 4535.9 cm 6 TL /R21 9.96264 Tf Re: Sujet de concours sur les séries de fonctions Message par Magnéthorax » 24 nov. 2015 17:55 Si vous vous limitez à des sujets d'analyse X/Mines/Centrale qui ont moins de 10 ans, ça ne vous fait pas tant de choses à explorer. [( )-5.92546]TJ 1 0 0 1 218.76 674.04 Tm 4.32 0 Td [(. EI Q EI Q /R21 9.96264 Tf 7.68 -3.6 Td [(n)-2.24962]TJ -222.6 -27.72 Td /R39 9.96264 Tf q 301 0 0 -4 1633.9 5073.9 cm /H 1 3.84 0 Td )-312.497(E)5.86664(n)-347.958(r)-5.91369(�)-1.33213(s)-3.1377(u)1.34683(m)2.02318(�)-1.33213(,)0.673414]TJ q 4 0 0 -224 2299.9 3918.9 cm /R27 9.96264 Tf ET La clé sera de considérer ces sommes infinies, aussi appelées séries, comme la limite de suites. /R35 6.97385 Tf [(7! BI 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /R33 9.96264 Tf [(g)-5.80048]TJ 24.96 0 Td Soit . [(1)-5.89017(\))2.56133]TJ /R35 6.97385 Tf Vous trouverez sur cette page les sujets de mathématiques posés au concours ATS depuis 2000. [(a)18.0763(v)57.893(a)-6.01368(n)25.4368(t)-297.773(d)1.34683(')0.673414(a)-6.01368(p)1.34683(p)1.34683(l)0.673414(i)0.673414(q)-2.33195(u)1.34683(e)-1.33213(r)-5.91369]TJ )0.264661]TJ -3.84 -2.04 Td ID 3.84 0 Td q 4 0 0 -104 610.9 4429.9 cm /R25 14.3462 Tf Q 4.92 0 Td q 4 0 0 -104 530.9 5123.9 cm 4.92 0 Td SUITES et SERIES DE FONCTIONS I. Suites de fonctions à valeurs dans ... III. 151.92 0 Td 1 0 0 1 409.56 674.04 Tm q 20.16 0 Td 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT [(,)-336.588(o)-6.01515(n)-323.867(a)-6.01515]TJ La série converge-t-elle normalement sur ? /W 1 /R19 9.96264 Tf Remarque : On consultera aussi avec profit les pages Série entière et Série de Fourier qui font le point sur des séries de fonctions particulières. /R21 9.96264 Tf /R39 9.96264 Tf [(e)-1.3336(t)-321.863(q)-2.33195(u)1.34683(e)-1.33213]TJ -310.2 -19.2 Td /R35 6.97385 Tf Ce livre propose un cours détaillé sur tous ces sujets avec un éclairage tout particulier sur les séries entières et les séries de Fourier qui constituent la base de l'Analyse complexe et de l'Analyse de Fourier. Déterminer à l’aide d’une équation différentielle. /R19 9.96264 Tf [(l)0.671944(a)-391.455(d)1.3483(�)-1.33286()1.3483(n)1.3483(i)0.671944(t)3.35237(i)0.671944(o)-6.01515(n)-384.092(e)-1.3336(t)-394.133(�)-391.455(l)0.671944(a)-379.41(r)-5.91517(�)-1.3336(g)-6.01515(u)1.3483(l)0.671944(a)-6.01515(r)-5.91517(i)0.671944(t)3.35237(�)-374.729(d)1.3483(e)-1.3336(s)-388.578(f)4.35514(o)-6.01368(n)1.34683(c)-1.33213(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683(s)-3.1377]TJ 8.76 0 Td 5.04 0 Td BI En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Suites et séries de fonctions : Suites de fonctions Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle. /IM true T*[()-4.25957]TJ 11.4 0 Td [(\()2.55986(\()2.55986]TJ [(F)1.57032(\()2.55986]TJ 26.16 6.72 Td /R21 9.96264 Tf q 602 0 0 -4 1659.9 4710.9 cm Exercice 7 CCP PSI 2017 ET On note  . Q 5.04 0 Td /R19 9.96264 Tf /R27 9.96264 Tf 14.4 6.84 Td [(s)-3.1377(u)1.3483(r)-5.91443]TJ [(2)3.5244]TJ /R41 9.96264 Tf 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /R39 9.96264 Tf [(1)-6.01368(9)-6.01368]TJ Par changement d’indices (et ) :.. Pour , avec . /R21 9.96264 Tf [(t)-0.34994]TJ /R35 6.97385 Tf Pour x>1 et n>0, f est dérivable comme somme de fonctions elles-même dérivable comme quotient de fonction dérivable pour x>1 et n>0. /IM true -2.28 -16.44 Td BI Q q /R37 6.97385 Tf 5.04 0 Td [(x)-6.87278]TJ 1/5 I : PREMIER EXERCICE I.1. 9.12 8.04 Td q 4 0 0 -268 755.9 679.9 cm q /R31 6.97385 Tf 15.24 -3 Td [(1)1.16367]TJ 4.92 0 Td Étude de convergence On pose f n(x) = xn(1−x) et g n(x) = xn sin(πx). /BPC 1 [(g)-5.80048]TJ /R27 9.96264 Tf [(=)-270.915(1)-5.89017]TJ 270.6 10.08 Td 80 0 obj SUITES et SERIES DE FONCTIONS I. Suites de fonctions à valeurs dans Èou  Etant donné un ensemble E, une suite de fonctions numériques définies sur E est la donnée, pour tout entier n ‘ ˙, d'une application de E dans È ou  notée fn. [(N)-0.69988]TJ [(t)-0.34994]TJ /R9 gs 3.84 0 Td [(n)0.508317]TJ 8.88 3.6 Td /R19 9.96264 Tf [(i)0.673414(t)3.35237(e)-459.042(d)1.34683(e)-446.997(f)4.35514(o)-6.01368(n)1.34683(c)-1.33213(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683(s)-3.1377]TJ /R27 9.96264 Tf 4.92 0 Td 7.92 -3.6 Td [(x)4.88446]TJ -271.2 -12 Td <> Par récurrence immédiate, pour tout est continue sur . [(H)3.21122]TJ 1 0 0 1 208.56 599.28 Tm /R27 9.96264 Tf 3.6 0 Td [(k)4.74919]TJ /R27 9.96264 Tf [( )-5.92546]TJ On peut aussi écrire que . 237.84 0 Td /BPC 1 /R66 9.96264 Tf [(n)0.506216]TJ -9.96 -23.04 Td /R35 6.97385 Tf -47.88 -6.96 Td /R21 9.96264 Tf /R19 9.96264 Tf Q /IM true /R14 7.97011 Tf 65.04 0 Td /R19 9.96264 Tf )0.673414]TJ Montrer que . 9.96 0 Td /R27 9.96264 Tf /R27 9.96264 Tf Mais de toute façon, f tend vers la fonction nulle dont le maximum est zéro [(u)-6.16071]TJ 7.8 0 Td /R35 6.97385 Tf [(4)-3.30091(. BI [(,)-324.543(l)0.671944(a)-343.275(s)-3.1377(�)-1.3336(r)-5.91517(i)0.673414(e)-314.502(d)1.34683(�)-1.33213()1.34683(n)1.34683(i)0.673414(s)-3.1377(s)-3.1377(a)-6.01368(n)25.4368(t)3.35237]TJ /R27 9.96264 Tf [(,)0.671944]TJ stream -184.2 -21.36 Td /R27 9.96264 Tf 8.64 0 Td ([)Tj EI Q /R21 9.96264 Tf 16.68 0 Td /R19 9.96264 Tf /R64 6.97385 Tf [(a)-6.01368(u)-323.868(v)21.758(o)-6.01368(i)0.673414(s)-3.1377(i)0.673414(n)1.34683(a)-6.01368(g)-6.01368(e)-314.502(d)1.34683(e)-1.33213]TJ )1.25959]TJ q 3.84 0 Td /R27 9.96264 Tf /R19 9.96264 Tf /R27 9.96264 Tf 5.52 0 Td /IM true [([)-168.63(0)-174.52(;)-168.63(1)-174.52(])]TJ Q -0.48 -24.72 Td 6.6 0 Td 6.24 0 Td /R37 6.97385 Tf ()Tj /IM true C’est un bon problème d’entraînement qui fait appel à de nombreuses notions d’analyse et probabilité des programmes de PCSI et PC. [(x)4.88446]TJ ID 6.24 0 Td 81.72 0 Td EI Q 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT [(. Si , il existe tel que , alors si , , . ET 11.64 0 Td BI <> Suites de R ou C, topologie de R ou C. Séries numériques. Q [(,)0.671944]TJ 3.84 0 Td Puis si tend vers , comme admet 0 pour limite en , )-372.723(P)29.9566(o)-6.01515(u)1.3483(r)-5.91517]TJ 3.6 3.6 Td 1. /R31 6.97385 Tf BI 6.24 0 Td Dans les questions b) et c), on fixe. ET /R10 8.96638 Tf /R27 9.96264 Tf 8.28 0 Td [(=)-5.92546]TJ /R27 9.96264 Tf Sujets de concours Vous trouverez ici quelques énoncés et les corrigés des épreuves de mathématiques et d'informatique posés aux concours des grandes écoles les années passées. 21.72 6.84 Td /R27 9.96264 Tf EI Q 3.84 0 Td /R27 9.96264 Tf /R19 9.96264 Tf Q /R37 6.97385 Tf 9.96 -2.4 Td q 4 0 0 -173 2257.9 4707.9 cm [(p)-22.7432(o)-6.01368(u)1.34683(r)-5.91369]TJ [(\()2.56133]TJ 1 0 0 1 77.04 522.12 Tm /R35 6.97385 Tf -219 -12 Td . /IM true [(e)-1.3336(s)-3.1377(t)-321.863(u)1.34683(n)1.34683(e)-338.592(s)-3.1377(u)1.34683(i)0.673414(t)3.35237(e)-338.592(d)1.34683(e)-326.547(p)-22.7432(o)-6.01368(l)0.673414(y)-2.33195(n)1.34683(�)-6.01368(m)2.02318(e)-1.33213(s)-328.353(d)1.34683(e)-338.592(B)-2.49369(e)-1.33213(r)-5.91369(n)1.34683(o)-6.01368(u)1.34683(l)0.673414(l)0.673414(i)0.673414(. 7.2 3.6 Td [(=)-5.89017]TJ /R31 6.97385 Tf Sujet - Corrigé (personnel) - Rapport (officiel) Le sujet introduit les séries entières et aborde le problème des moments pour une variable aléatoire à valeurs entières, par l'intermédiaire de sa fonction génératrice. [(d)1.3483(o)-6.01515(n)1.3483(c)-338.593(e)-1.33286(l)0.671944(l)0.671944(e)-326.548(c)-1.33286(o)-6.01515(n)25.4383(v)21.758(e)-1.3336(r)-5.91517(g)-6.01515(e)-302.459(p)1.3483(a)-6.01515(r)-331.13(a)-6.01515(p)1.3483(p)1.3483(l)0.671944(i)0.671944(c)-1.3336(a)-6.01515(t)3.35237(i)0.671944(o)-6.01515(n)-323.867(d)1.3483(u)-335.912(t)3.35237(h)1.3483(�)-1.3336(o)-6.01368(r)-5.91369(�)-1.33213(m)2.02318(e)-326.547(d)1.34683(e)-1.33213(s)-328.353(s)-3.1377(�)-1.33213(r)-5.91369(i)0.673414(e)-1.33213(s)-328.353(a)-6.01368(l)]TJ 260.64 0 Td 1 0 0 1 208.68 196.56 Tm -226.2 -21.84 Td Q Ce sujet d’EDHEC est classiquement composé de trois exercices et un problème couvrant une large partie du programme d’ECE. [(x)4.88446]TJ [( )-2.77264]TJ q 301 0 0 -4 2416.9 5067.9 cm 12 0 Td Q La suite converge uniformément sur . [(n)0.508317]TJ /R19 9.96264 Tf BI [(n)0.508317]TJ /R33 9.96264 Tf EI Q [(n)-2.24962]TJ Application mobile gratuite #1 pour réviser en France, groupe-reussite.fr est évalué 4,8/5 par 600 clients sur, l’intégration sur un intervalle quelconque. ID Étude de la convergence simple [(D)4.86424(e)-290.413(p)1.3483(l)0.671944(u)1.3483(s)-3.1377(,)-288.408(l)0.671944(e)-290.413(p)1.3483(r)-5.91443(e)-1.33286(m)2.02465(i)0.671944(e)-1.3336(r)-282.95(t)3.35237(e)-1.3336(r)-5.91517(m)2.02465(e)-290.414(d)1.3483(e)-290.414(l)0.671944(a)-295.095(s)-3.1377(�)-1.3336(r)-5.91517(i)0.671944(e)-278.369(d)1.3483(e)-290.414(f)4.35514(o)-6.01515(n)1.3483(c)-1.3336(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683(s)-280.173(e)-1.33213(s)-3.1377(t)-285.728(c)-1.33213(o)-6.01368(n)1.34683(s)-3.1377(t)3.35237(a)-6.01368(n)]TJ -2.52 -0.24 Td 1 0 0 1 230.16 674.04 Tm 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT [([)-168.63(0)-174.52(;)-168.63(1)-174.52(])]TJ 7 0 obj La suite est une suite constante égale à , elle converge. /IM true 11.64 -1.44 Td q 37.32 0 Td [([)-168.63(0)-174.52(;)-168.63(1)-174.52(])]TJ BI EI Q /R21 9.96264 Tf [(N)-0.69946]TJ 5.28 1.44 Td [(1)1.16367]TJ [(n)0.507266]TJ T*[()-4.25957]TJ /R47 8.96638 Tf )4.3718]TJ 5.64 0 Td ID /IM true /H 1 7.8 0 Td 25.2 0 Td ID 4.56 -3.6 Td )-517.263(L)-1.49607(a)-523.95(f)4.35514(o)-6.01515(n)1.3483(c)-1.3336(t)3.35237(i)0.671944(o)-6.01515(n)1.3483]TJ [(t)3.35237(,)-276.362(�)-1.33213(g)-6.01368(a)-6.01368(l)-276.362(�)-6.01368]TJ ET ET [(t)-0.34994]TJ 12.36 0 Td /R50 8.96638 Tf [(0)2.06267]TJ , . 2.76 0 Td q q [(=)-0.562929(1)1.16367]TJ Familles sommables. 18.84 18.48 Td /BPC 1 /R62 9.96264 Tf Comme , il existe . [(])-168.63(1)-174.52(;)]TJ [(a)-1.97981]TJ [(1)1.16367]TJ [(N)-0.69988]TJ [(k)4.74919]TJ [(=)-5.92546]TJ Q /R21 9.96264 Tf La fonction est une fonction continue sur comme limite uniforme sur tout segment d’une série de fonctions continues. /BPC 1 [(T)6.05452(�)1.64678(l)4.40938(�)1.64678(c)1.64188(h)-4.59889(a)25.2865(r)3.0338(g)5.19519(�)-359.703(g)5.19519(r)3.0338(a)-1.48014(t)-3.68238(u)-4.59889(i)4.40938(t)-3.68238(e)1.64678(m)-0.227085(e)1.64678(n)-4.59889(t)-338.266(s)5.76699(u)-4.60052(r)3.03216]TJ 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT Q EI Q [(2)-5.89017]TJ -2.88 -2.04 Td 10.32 0 Td -352.2 -11.88 Td Étude de la convergence uniforme 8.88 3.6 Td EI Q EI Q [(t)-0.34994]TJ /R19 9.96264 Tf 9.96 0 Td q /R35 6.97385 Tf [(L)-1.49607(a)-403.5(d)1.3483(e)-1.33286(u)1.3483(x)-2.33195(i)0.671944(�)-1.3336(m)2.02465(e)-410.864(p)1.3483(a)-6.01515(r)-5.91517(t)3.35237(i)0.671944(e)-398.819(e)-1.3336(s)-3.1377(t)-406.178(c)-1.3336(o)-6.01515(n)1.3483(s)-3.1377(a)-6.01515(c)-1.3336(r)-5.91517(�)-1.3336(e)-386.774(�)-403.5(l)0.673414(')0.673414(�)-1.33213(t)3.35237(u)1.34683(d)1.34683(e)-422.907(d)1.34683(u)-408.183(p)1.34683(r)-5.91369(o)-30.1037(d)1.34683(u)1.34683(i)0.673414(t)-406.178(d)1.34683(e)-410.862(C)-0.65577(a)-6.01368(u)1.34683(c)]TJ /R37 6.97385 Tf ET [(t)3.35237(e)-1.33213(r)-5.91369(n)1.34683(�)-1.33213(e)-1.33213(s)-3.1377(. /R19 9.96264 Tf … Si , Pour les intervalles du même type dans cela ne change rien puisque les fonctions sont paires. -161.4 -22.32 Td Exercice 5 q EI Q 8.28 0 Td /R35 6.97385 Tf [(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683(s)-3.1377]TJ [(P)-4.95945]TJ /R27 9.96264 Tf q 6 2.88 Td La série converge simplement sur quel domaine ? [( )-2.77264]TJ [([)-168.63(1)-174.52(;)-168.63(2)-174.52(])]TJ q 3048 0 0 -4 436.9 5587.9 cm 70.56 0 Td [( )-5.92546]TJ L'étude de la continuité et de la dérivabilité de telles fonctions conduit très naturellement à la notion cruciale de convergence uniforme. q + de la suite (fn) dé nie par fn(x) = min {n; 1 p x}: Exercice 4 Soient E un ensemble, (fn) une suite de fonctions de E dans K et f 2 KE. [(u)-6.16071]TJ q 2600 0 0 -4 755.9 412.9 cm 6 0 Td /R35 6.97385 Tf [(+)-222.735(1)-5.89017]TJ q 301 0 0 -4 1577.9 5344.9 cm Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle compact de R. 2 Solutions Solution de l'exercice 1 Pour tout x2 R, x(1 1=n)! /R27 9.96264 Tf EI Q EI Q Pour toute question, n'hésitez pas à me contacter 2020: 4 exercices (Diagonalisation et étude d’un système de suites récurrentes, étude d’une suite récurrente complexe, étude d’une équation différentielle linéaire du second ordre, série de Fourier). 4.32 -1.44 Td EI Q )0.671944(b)-492.497(U)3.02669(t)3.3531(i)0.671944(l)0.671944(i)0.671944(s)-3.1377(e)-1.33286(r)-343.174(l)0.671944(e)-326.548(t)3.35237(h)1.3483(�)-1.3336(o)-6.01515(r)-5.91517(�)-1.3336(m)2.02465(e)-326.549(d)1.3483(e)-1.3336(s)-340.398(s)-3.1377(�)-1.3336(r)-5.91517(i)0.671944(e)-1.3336(s)-316.308(a)-6.01515(l)0.671944(t)3.35237(e)-1.3336(r)-5.91517(n)1.3483(�)-1.3336(e)-1.3336(s)-328.353(e)-1.33213(t)-321.863(l)0.673414(a)-343.274(q)-2.33195(u)1.34683(e)-1.33213(s)-3.1377(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)]TJ 192.12 0 Td 6.12 0 Td soit  . /R33 9.96264 Tf [(=)-0.56503(1)1.16367]TJ /R21 9.96264 Tf [(7)-6.01515(. 11.64 0 Td 28.08 0 Td [(1)-5.89017]TJ 10.56 0 Td [(k)2.06435]TJ [(n)0.506216]TJ /R19 9.96264 Tf Suites et séries de fonctions Résumé de cours outesT les fonctions envisagées dans ec chapitre sont dé nies sur un intervalle Ide R et à valeurs dans K. I)Modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions a)Convergence simple d'une suite de fonctions Dé nition 1. [(e)-1.33213(s)-268.128(f)4.35514(o)-6.01368(n)1.34683(c)-1.33213(t)3.35237(i)0.673414(o)-6.01368(n)1.34683(s)-256.083(p)-22.7432(�)-1.33213(r)-5.91369(i)0.673414(o)-30.1037(d)1.34683(i)0.673414(q)-2.33195(u)1.34683(e)-1.33213(s)-3.1377(,)0.673414]TJ )2.92107(f)2.92107(r)2.92107]TJ ID 260.76 0 Td 255 0 Td /H 1 Q Séries, Déterminants, Nombre de mots sans répétition dans un alphabet de n lettres. 3.84 0 Td /R27 9.96264 Tf 11.28 15.36 Td [(n)0.506216]TJ -2.52 -0.24 Td ID /R35 6.97385 Tf EI Q BI Question 2 Montrer que la limite est dérivable mais que la suite ne converge pas vers sur . . /R21 9.96264 Tf BI Q 7.08 -1.44 Td 0 0 1 rg /R19 9.96264 Tf ET /R21 9.96264 Tf /R35 6.97385 Tf 7.32 0 Td 0 0 0 1 k [(=)-5.89017]TJ 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT [()3.3803]TJ [(\))2.55986]TJ 8.16 0 Td Corrigé de l’exercice 2 : Question 1 : Étude de la convergence simple tend vers 0. ()Tj 4.8 -1.44 Td /R19 9.96264 Tf BI [(t)0.823389]TJ Question 1 /W 1 /R27 9.96264 Tf [(n)-2.24962]TJ [(2)3.52587]TJ Qui sont les termes généraux de séries divergentes avec et , ce qui montre que la série de fonctions de terme général [n’est pas absolument convergente, sur un intervalle ]. q [(k)2.06435]TJ [(g)-5.79974]TJ . /R39 9.96264 Tf /R35 6.97385 Tf /R27 9.96264 Tf /H 1 [(e)-1.33213(n)-516.588(p)-22.7432(o)-6.01368(s)-3.1377(a)-6.01368(n)25.4368(t)3.35237]TJ [(1)1.16367]TJ ID [(g)-5.80048]TJ /BPC 1 [(3)-6.01368]TJ Si , donc diverge grossièrement CCP MP 2007 … 8.76 1.44 Td /H 1 ET 4.56 10.32 Td EI Q )0.673414]TJ /R39 9.96264 Tf 5.04 0 Td /R27 9.96264 Tf Niveau de difficulté : … [(k)4.75129]TJ [(s)-3.1377(�)-1.33286(r)-5.91443(i)0.671944(e)-254.278(d)1.3483(e)-266.323(f)4.35514(o)-6.01515(n)1.3483(c)-1.33286(t)3.3531(i)0.671944(o)-6.01515(n)1.3483(s)-3.1377(. /R31 6.97385 Tf [(c)-1.33286(a)-6.01515(l)0.671944(c)-1.33286(u)1.3483(l)-324.543(d)1.3483(e)-1.3336(s)-340.398(n)1.3483(o)-6.01515(m)26.1147(b)1.3483(r)-5.91517(e)-1.3336(s)-316.308(d)1.3483(e)-338.594(B)-2.49516(e)-1.3336(r)-5.91517(n)1.3483(o)-6.01515(u)1.3483(l)0.671944(l)0.671944(i)0.671944(. Q [(c)22.7579(h)25.4368(y)-2.33195]TJ -4.44 -20.16 Td /R27 9.96264 Tf EI Q Soit . [(x)-6.87067]TJ EI Q [(>)-2.77264]TJ [(+)-8.86907]TJ [(g)-5.80048]TJ /R21 9.96264 Tf 3.84 3.6 Td Ce livre traite d'une manière approfondie ce sujet avec un cours très bien fait et de nombreux exemples. 88.92 0 Td Q )-336.587(O)-5.34026(n)-360.003(s)-3.1377(')0.673414(i)0.673414(n)25.4368(t)3.35237(�)]TJ /R27 9.96264 Tf 2.52 -6 Td [(\()2.56133]TJ Par continuité de en : . Études de variations, théorème de la bijection, suites numériques et limites (14 décembre, concours blanc) Sujet , correction et rapport Probabilités sur un univers fini, probabilités conditionnelles, limites de suites, étude de fonction (27 janvier) )0.673414]TJ [(1)-5.89017(\))2.56133]TJ )-336.588(E)5.86664(n)1.3483()1.3483(n)1.3483(,)-336.588(p)-22.7417(o)-6.01515(u)1.3483(r)-5.91517]TJ /R35 6.97385 Tf Si . La somme est continue sur et admet une limite finie en. /R17 9.96264 Tf Q 15.36 9.48 Td [(&)-1.90592]TJ /R27 9.96264 Tf Pour x fixé dans E, (fn(x)) est une suite de nombres réels ou complexes. Soit pour et . [(1)-6.01515(3)-487.815(M)1.02115(o)-6.01515(n)25.4383(t)3.3531(r)-5.91443(e)-1.33286(r)-319.084(q)-2.33122(u)1.3483(e)-1.3336]TJ 3.6 0 Td /R27 9.96264 Tf Sur , est décroissante (calculer la dérivée sur l’intervalle ouvert)  et varie de 0 à . )-1150.13(C)-0.752813(a)4.82123(l)-5.85194(c)5.09472(u)0.345529(l)-343.112(d)0.345529(e)-340.287(l)-5.85194(a)-332.439(s)-4.20957(o)-3.30091(m)-5.502(m)-5.502(e)-328.242(d)0.345529(')-5.85194(u)0.345529(n)0.345529(e)-328.241(s)-4.21104(�)-3.02595(r)3.74642(i)-5.85194(e)-328.241(�)-344.485(l)-5.85194(')-5.85194(a)4.81976(i)-5.85194(d)0.344059(e)-328.241(d)0.344059(')-5.85194(u)0.344059(n)0.344059(e)-340.286(�)-3.02595(t)1.44387(u)0.344059(d)0.344059(e)-3.02595]TJ 6 2.88 Td /R21 9.96264 Tf /R31 6.97385 Tf Les objectifs de cette leçon sont : Maîtriser les différents modes de convergence des suites et séries de fonctions. Intégration sur un intervalle quelconque. q 88 0 0 -4 2365.9 1003.9 cm /R33 9.96264 Tf [(n)0.506216]TJ [()1.25567]TJ 2) En déduire qu’il en est de … [(c)-1.3336(o)-6.01515(n)25.4383(v)21.758(e)-1.33213(r)-5.91369(g)-6.01368(e)-278.367(u)1.34683(n)1.34683(i)0.673414(f)4.35514(o)-6.01368(r)-5.91369(m)2.02318(�)-1.33213(m)2.02318(e)-1.33213(n)25.4368(t)-309.818(v)21.758(e)-1.33213(r)-5.91369(s)-3.1377]TJ 8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT /R39 9.96264 Tf 10.44 13.56 Td /R19 9.96264 Tf /IM true [(. [(O)-5.33879(n)-335.912(e)-1.33286(n)-335.912(d)1.3483(�)-1.33286(d)1.3483(u)1.3483(i)0.671944(t)-333.907(q)-2.33195(u)1.3483(e)-326.549(l)0.671944(a)-331.23(l)0.671944(i)0.671944(m)2.02465(i)0.671944(t)3.35237(e)-350.639(s)-3.1377(i)0.671944(m)2.02465(p)1.3483(l)0.671944(e)-326.549(d)1.3483(e)-1.3336]TJ
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