• Le vecteur unitaire tangent à cette courbe, en M, est noté u • Il est orthogonal à u r puisque, lorsque M décrit le demi cercle, la norme du vecteur OM est constante ( 𝐎𝐌=𝑟). POLAIRE DES CONIQUES Table des matières 3.1 Coordonnées polaires d’un point du plan 1 3.2 Équation polaire d’une courbe dans le plan 2 3.3 Transformation : polaire -> paramétrique 5 3.4 Équations polaires des coniques 8 3.5 Les lois sur le mouvement des planètes 15 ... 4 dans le repère 7.1.3 Équation polaire d'une conique On fixe un repère orthonormal du plan ³ O, →− i, →− j ´. Pour tout point M(x;y) du plan distinct de l’origine, il existe un couple de réels (r;θ) vérifiant : Chapitre 1 Repérage 1. est la composante radiale de l'accélération ; est la composante orthoradiale; est la composante axiale; en polaire : Vecteur déplacement élémentaire : --DamienDecout 2 janvier 2008 à 07:35 (CET) Donner l’allure générale de la trajectoire. Soit les points M, N etP de coordonnées polaires M(l 1) Montrer que les pomts M, N et P sont allgnés. Travaux dirigés de mécanique du point 5/40 5 Exercices : Exercice 1 : Produits de vecteurs (A faire avant le TD) Soit les trois vecteurs: a(1,2,2), b( 2,2 2,2) et c( 0, 2, 2). Chapitre 4 : Analyse en repères polaire, cylindrique et sphérique 1 Repère d’espace. On appelle vecteur rotation le vecteur porté par l'axe de rotation et dont le COMPOSITION DES POSITIONS, VITESSES, ACCELERATIONS 161 2.1 Position 161 2.2 Vitesse 161 2.3 Accélération 165 3. Re : Expression du vecteur gradient dans un repère polaire J'ai toujours ce problème (un peu ridicule, désolé) Quand l’angle polaire varie de la quantité infinitésimale dθ, le point M se déplace le long de la direction uθ de r.dθ. Ainsi un repère cartésien sera bien plus adapté pour étudier un mouvement de translation qu'un repère cylindrique. La base polaire. Les coordonnées cartésiennes x et y s’exprimenten fonction des coordonnées polaires r et θ: =𝑟cos𝜃, =𝑟sin𝜃. CHANGEMENT DE REPERE : CONCLUSION ET RESUME 169 ABSOLU F. XII XII. REPÉRAGE D'UN POINT Exercice 1 : M est le point de coordonnées polaires M 4; 4 dans le repère polaire O; i . Donner une représentation paramétrique du plan d'équation x + 2y − z − 3 = 0. Attention varient lorsque M se déplace et dépendent donc du temps.. Vecteur vitesse : . r est appelé rayon polaire; µ est l’angle polaire et z la cote. L’aiguille de la boussole elle, s’aligne avec les pôles magnétiques de la Terre, mais ils ne sont pas confondus avec les pôles géographiques ! Le plan est rapporté à un repère cartésien (O, i , j ) et la demi droite d'origine O et dingée par i est le demi axe polaire. Site 3 : Document pdf de très grande qualité, faisant les rappels nécessaires sur les rotations et le joint avec les quaternions, notion qui est présente sur mon site. 1) Déterminer les coordonnées polaires du point I, milieu du segment [OM]. Tangente et cercle de courbure en un point P de la courbe C . I ‐ 4 ‐ repère d’espace On appelle repère d’espace, un ensemble de points dont les distances sont invariables au cours du temps. 1. On introduira 6(G), angle dont la roue a tourné depuis l’instant initial. Alors une équation polaire de la conique C de foyer O, d'excentricité e et de directrice D est : … 4. Dans la base polaire … Calculer les dérivées d’un vecteur de base et d’un vecteur quelconque dans un repère donné. Soit les points M, N etP de coordonnées polaires M(l 1) Montrer que les pomts M, N et P sont allgnés. Théorème de relèvement . repère. Soit : fi V V x V y v Ou bien : fi V = V cos a fi i + V sin a fi j Il faut noter dans ce dernier cas que : Fiche 3 Le repère de Frenet 6 Fiche 4 La vitesse et l’accélération 8 Fiche 5 La vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques 10 Fiche 6 L’accélération en coordonnées cartésiennes et cylindriques 12 Fiche 7 La vitesse et l’accélération dans le repère de Frenet … Ce référentiel peut se donner sous forme d'un repère cartésien orthonormé, c'est-à-dire une base orthonormée de 3 vecteurs d'espace et d'un “vecteur temps”.Alors les données physiques du mouvement d'un objet sont données en fonction de ce référentiel. 1BC Cinématique et Dynamique 7 et lim t0→t OM t0−t d −−→ OM dt Le vecteur vitesse en M est tangent à la trajectoire en ce point et orienté dans le sens du mouvement. On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormée. On caractérise généralement un repère d'espace par un point {, origine du repère, choisi conventionnellement et une base ( , & Ú, , & Û, , & La position de chaque point doit toutefois être toutefois dé…nie par un unique triplet (r;µ;z). Repérage dans le plan Théorème 1 : Le plan est muni d’un repère cartésien (c’est-à-dire orthonormé direct) (O;~i,~j). 3. Soit la base cylindrique. 2) Calculer la distance MP 5m 3) Montrer, en utilisant les coordonnées polalres, que N est le milieu de [MP] Γ0 a pour équation polaire r = p. Plus généralement, si l’on ne suppose plus la directrice verticale, l’équation polaire d’une conique de foyer F = O est : r = 1+e.cos( θ−θ0) p = 1 A.cos θB.sin θ p + +. Repère comobile • Lorsque l’angle varie le point M décrit un demi grand cercle (méridien). Faire un repère dynamique avec le paramètre « Polaire » et les actions ... Créer la première contrainte : Polaire en prenant soin de cliquer d’abord sur le point origine, celui qui ne bougera pas. Conclusion : Γe a pour équation polaire r = 1 e.cos θ ed + = 1 e.cos θ p + ( p = ed ). Le plan est rapporté à un repère cartésien (O, i , j ) et la demi droite d'origine O et dingée par i est le demi axe polaire. Repère cartésien R d’origine O, et de base orthonormée directe (u x, u y). U U U Etudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est 1. r = 2 1 2cosq, 2. r = 6 2+cosq, 3. r = 2 1 sinq. 1.2 Repère relatif 159 1.3 Mouvement d'entraînement 161 1.4 But du jeu 161 2. Il y a deux façons de présenter un vecteur. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, • l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est Figure 13 : Base de Frenet et déplacement élémentaire. en polaire : Vecteur accélération : . a) Repère d’espace 4 b) Repère de temps 5 c) Le système de coordonnées cartésiennes 5 d) Le système de coordonnées polaires 6 e) Liens entre les systèmes de coordonnées polaires et cartésien-nes 9 f) Le système de coordonnées cylindriques 10 g) Base fixe et … Attention toutefois, l'équivalence e ≡T et e r≡ N n'est valable qu'en mouvement rigoureusement circulaire! L’expression du vecteur vitesse dans la base cartésienne se déduit des relations (1.1) et Repérage polaire : on muni une droite du plan d'un repère (O ; ) , à tout point M de ce plan correspond un couple unique ( r ; α ) où r est la distance OM ( en unité de longueur ) et α une mesure de l'angle orienté (; ) . Dans le plan horizontal (xoy) d’un repère orthonormé direct (O,i,j,k) r ℜ , un point M est repéré à tout instant t par ses coordonnées polaires (ρ,ϕ) telles que ρ(t)= acos(ωt) et ϕ(t)=ωt (a et ω étant des constantes positives, OM ρeρ r = et = ∧ ϕ Ox,OM) 1. Ces vecteurs peuvent être représentés n'importe où dans l'espace mais ils sont représentés souvent soit au point origine soit au point lui-même. Le centre B de la roue a une vitesse >$$$$?⃗ positive, constante et parallèle à $$+$$ S$⃗ . À un instant , au point de la trajectoire, le vecteur de base fait un angle avec la direction de l'axe des (voir figure 13). Le point O est le pole et l’axe (O,u x) l’axe polaire, pour le système de coordonnées polaires. PROPOSITION 7.3 ♥ Équation polaire d'une conique Soit D la droite d'équation polaire r = d cos(θ−θ0) avec h 6=0. Site 4 : Traitant du calcul inverse des angles d'Euler, connaissant la matrice de passage, avec étude … 2) Calculer la distance MP 5m 3) Montrer, en utilisant les coordonnées polalres, que N est le milieu de [MP] Déterminer les coordonnées 9(G) et C(G) du point 1. cylindriques: r, , z - U r,U ,U z U OM rU r zU z sphériques: r, , - U r,U ,U OM rU r 2 Vecteurs vitesse et accélération 2.1.a Expressions du vecteur vitesse en coordonnées polaires et cylindriques. Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103) Page 2 sur 5 JN Beury m H II. Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques Le repère dont l’origine est le centre d’inertie G du solide S et dont les axes sont parallèles à ceux de la base principale d’inertie du solide S, est appelé repère central d’inertie . L’étoile Polaire sert de repère pour trouver le pôle nord géographique. Donner une équation cartésienne du plan paramétré par : T= 1 + P+ 2 Q U= 2 + P+ Q V= 3 Q 2. COORDONNÉES CARTÉSIENNES On considère un point M et le référentiel ℜ=(Ou u u;, ,x yz) GGG Le vecteur position ... Si le point est en mouvement le vecteur (et par conséquent ) change de direction : la base est « mobile » dans le repère. MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d’un point - Vitesse et acc´el´eration page 2/6 Soit la base cart´esienne (ex,ey,ez) O M x y z ~ex ~ey ~ez x = OHx, y = OHy et z = OI, coordonn´ees cart´esiennes de M, d´efinissent de fac¸on unique la position de M extr´emit´e du vecteur position Remarque 1.2 Ce système de coordonnées est une ”version à … uθ . Université Joseph Fourier – Grenoble 1 Licence 1ère année Phy 12a/12b Mécanique du point (2ème semestre) Galilée(1564-1642) J.Kepler(1571-1630) I.Newton(1643-1727) Travaux dirigés et Ateliers 1. Correction H [005816] Exercice 3 *** 1.Montrer que toute courbe de degré inférieur ou égal à 2 admet une représentation paramétrique de la forme (x(t)= P(t) Dans un plan possédant un repère orthonormé où fi i et fi j sont les vecteurs unité portés par les axes, un vecteur fi V a deux coordonnées. La description dans le repère polaire ou dans celui de Frenet donne les mêmes résultats. 2. r ne varie donc que de 0 à +1; µ varie de 0 à 2¼; z varie de ¡1 à +1. UPS - L1 PCP Travaux dirigés de mécanique du point page 4 Questionnaire : 1. Nous allons dans ce chapitre présenter distinguer les trois systèmes de coordonnées utilisés en cinématique pour exprimer la position d'un point, sa vitesse et son accélération. a) Calculer a , , et en déduire les expressions des vecteurs unitab , c ires ea, eb, ec des directions de a, b et c. b) En considérant les angles θa, θb et θc compris entre 0 et π, calculer: 2) Déterminer les coordonnées polaires puis les coordonnées Ce couple s'appelle coordonnées polaires du point M relativement au repère (O ; ). se placera dans le plan z = 0. • u est dans le …
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